Propiedades de la Esperanza, Varianza y Desviación Estándar

Propiedades de la Esperanza Matemática

Son válidas tanto para variables discretas como continuas.

a) La esperanza matemática de una constante es igual a esa misma constante, es decir E(a) = a, siendo a una constante.

Ejemplo: a = 5 ; E(5) = 5

b) El valor esperado de la suma de dos variables aleatorias es igual a las suma de sus valores esperados, es decir, E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Ejemplo: Sean X y Y variables aleatorias con esperanzas: E(X) = 7 y E (Y) = 10

Entonces, E(7 + 10) = 17

Calcule: E(6X + 4Y) = (6 · 7 + 4 · 10) = 42 + 40 = 82

c) El valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable, es decir, E(a · X) = a · E(X)

Ejemplo: E(X) = 15 ; E(12 · X) = 12 · E(X)
                                   12 · 15 = 180

d) Sean X e Y variables aleatorias independientes, el valor esperado del producto de las variables es igual al producto de los valores esperados, es decir, E(X · Y) = E(X) · E(Y)

Ejemplo: E(X) = 18 y E(Y) = 20 ; E(18 · 20) = E(18) · E(20) = 360

Propiedades de la Varianza

a) La varianza de una constante es 0, es decir, V(a) = 0, siendo a una constante.

Ejemplo: a = 22 ; V(a) = V(22) = 0

b) La varianza del producto de una constan te por una variable, es igual al cuadrado de la constante por la varianza de la variable, es decir, V(a · X) = a² · V(X), siendo a una constante y X una variable aleatoria.

Ejemplo: a = 17 y V(X) = 8 ; V(a · X) = 17² · V(8) = 289 · V(8) = 2312

c) V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y) y V(X + Y) =V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y),  siendo X e Y variables independientes y aleatorias.
Teniendo en cuenta que la covarianza de dos variable independientes es cero, es decir CoV(X,Y) = 0; por lo tanto: la varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir, V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Ejemplo: V(X) = 19 y V(Y) = 29 ; V(X + Y) = V(X) + V(Y)
                                                                         = 19 + 29
                                                                         = 48

Propiedades de la Desviación Estándar

Se usan las mismas propiedades de la varianza, solo que se usa la raiz cuadrada para resolver los problemas.

a) Las desviación estándar de una constante es 0, es decir, D(a) = √0, siendo a una constante.

Ejemplo: a = 40 ; V(a) = V(40) = √0 = 0

b) La desviación estándar del producto de una constante por una variable, es igual a la raíz cuadrada de la constante al cuadrado por la varianza de la variable, es decir, D(a · X) = √a² · V(X)

Ejemplo: a = 3 y V(X) = 14 ; D(a ·X) = √3² · 14 = √9 · 14 = √126 = 11,22

c) D(X + Y) = √V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y) y D(X + Y) =√V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y), siendo X e Y variables independientes y aleatorias.
Teniendo en cuenta que: CoV(X,Y) = 0; por lo tanto: la desviación estándar de la suma de dos variables independientes es igual a la raíz cuadrada de la suma de la varianza de X mas la varianza de Y, es decir; D(X + Y) = √V(X) + V(Y)

Ejemplo: V(X) = 6 y V(Y) = 30 ; D(X + Y) = √6 + 30 = √36 = 6